近三次时间复杂度求解图上的相遇时间

在大小为 $N$ 的无向图上，两个随机游走者在每个时间步有一个游走者移动且当它们碰撞时过程停止的期望相遇时间，满足一个包含 $\binom{N}{2}$ 个线性方程的系统。直接求解该系统需要 $O\left(N^{6}\right)$ 次运算。然而，该线性方程组具有良好的结构，它几乎是一个 Sylvester 方程，唯一的障碍是对角吸收约束。我们给出了一个利用该结构求解此系统的简单算法，使得精确计算所有 $\binom{N}{2}$ 个相遇时间只需 $O\left(N^{4}\right)$ 次运算和 $\Theta\left(N^{2}\right)$ 的空间。虽然这种实用方法仅使用标准的稠密线性代数，但通过利用对角校正的 Cauchy 结构，在理论上可以将其改进为 $O\left(N^{3}\log^{2}N\right)$ 次运算。我们将此结果稍作推广，以涵盖具有任意源的吸收“惰性”对游走的 Poisson 方程，该方程可以以相同的代价求解，在同一图上每增加一个源只需 $O\left(N^{3}\right)$ 的代价。最后，我们给出了其在演化动力学中的应用，提供了计算固定概率和平均性状频率的改进算法。