图上群体协议中的近最优领导者选举

在随机群体协议模型中，给定一个含 $n$ 个节点的连通图，每时间步调度器均匀随机采样图的一条边，且该边相连节点发生交互。该模型中的基本任务是稳定领导者选举，所有节点起始于相同状态，目标是达到如下配置：(1) 恰有一个节点被选为领导者；(2) 无论后续交互序列如何，该节点始终保持为唯一领导者。在团上，此问题的复杂度近期已确定：时间最优协议使用 $\Theta(\log \log n)$ 状态在 $\Theta(n \log n)$ 期望步内稳定，而使用 $O(1)$ 状态的协议需 $\Theta(n^2)$ 期望步。本文中，我们研究图上稳定领导者选举的复杂度。我们给出一般图上首个非平凡时间下界，表明超越团后，稳定领导者选举的复杂度可从 $O(1)$ 到 $\Theta(n^3)$ 期望步不等。我们描述一种在多种图族上时间最优但使用多项式多状态的协议。相比之下，我们给出仅用 $O(\log^2n)$ 状态的近时间最优协议，其慢至多 $O(\log n)$ 倍。最后，我们观察到对许多图，Beauquier 等人 [OPODIS 2013] 的常数状态协议比快速多项式状态协议慢至多 $O(n \log n)$ 倍，且在常数状态协议中，该协议在稠密随机图上具有近最优平均情况复杂度。