射影空间上有理点像的加法刚性

我们研究阿贝尔 variety 上的群律与其在射影空间下图像上所诱导的加法结构之间的相互作用。设 $A/F$ 为简单阿贝尔 variety，$f:A \rightarrow \mathbb{P}^n$ 为映射在其图像上有限，$\Gamma \subseteq A(F)$ 为有限秩子群。我们证明对于任意仿射图 $\mathbb{A}^n \subseteq \mathbb{P}^n$ 以及任意有限子集 $X \subseteq f(\Gamma) \cap \mathbb{A}^n$，其能量满足 $E(X) \ll |X|^2$，而基数集合满足 $|X+X| \gg |X|^2$。我们进一步询问该什么样的加法刚性对任意阿贝尔 variety 成立，证明当映射 $f$ 与 $A$ 的简单因子分解相容时，确实如此。该证明使用均匀 Mordell-Lang 猜想。