椭圆曲线有理点 x 坐标的加法刚性

我们研究了椭圆曲线上有理点 x 坐标的加法结构与椭圆曲线群律之间的相互作用。设 $E/\mathbb{Q}$ 为 Mordell-Weil 秩为 $r \geq 1$ 的椭圆曲线，$d \geq 1$ 为整数，$0<\rho \leq 1$。我们证明，如果一个 $d$ 维严格广义算术递进集合包含 $E/\mathbb{Q}$ 上有理点的 x 坐标，其比例为正 $\rho$，则此类点的个数被界定为 $A(E,d,\rho)^r$。该证明结合了抽取引理、间隙原理以及球面图的界。作为应用，我们获得了若干关于 x 坐标集合的限制，这些集合的和集较小或加性能量较大的。