具有有理张力椭圆曲线的 Watkins 猜想

Watkins 猜想指出对于椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$，其有理点群 $E(\mathbb{Q})$ 的秩上界为 $\nu_2 (m_E)$，其中 $m_E$ 是与 $E$ 关联的模块度。已知 Watkins 猜想在平均情况下成立。本文在特定薄族椭圆曲线上调查该猜想。例如，对于素数 $\ell$，我们量化满足 Watkins 猜想的具有有理 $\ell$-张力的椭圆曲线。此外，研究扩展到更广泛的背景，探讨不等式 $\mathrm{rank}(E(\mathbb{Q}))+M\leq \nu_2(m_E)$ 对任意正整数 $M$ 的情况。