椭圆曲线上有理点的依赖性

设 $E$ 为定义在 $\mathbb Q$ 上的椭圆曲线。令 $\Gamma$ 为 $E(\mathbb Q)$ 的子群，$P\in E(\mathbb Q)$。在 [1] 中，证明了若 $E$ 没有非平凡有理扭点，则 $P\in\Gamma$ 当且仅当对有限个素数 $p$ 有 $P\in \Gamma$ mod $p$。在本文中，假设广义黎曼假设（General Riemann Hypothesis），我们对当 $E$ 不具有复乘且 $E$ 为半稳定曲线或 $E$ 无例外素数时的这些素数给出了显式上界。