具有无穷多个几乎素数 Frobenius 迹的非 CM 椭圆曲线

设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上且无复乘法的椭圆曲线。对于 $E$ 的良好约化素数 $p$，我们记 $\#E_p(\mathbb{F}_p) = p + 1 - a_p(E)$ 为 $E$ 模 $p$ 的约化 $E_p$ 的 $\mathbb{F}_p$-有理点个数。在广义黎曼假设（GRH）下，我们研究使得整数 $|a_p(E)|$ 为素数的素数 $p$。特别地，我们证明如下结果：（i）使得 $|a_p(E)|$ 为素数的素数 $p < x$ 的个数由上界 $C_1(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ 限制，其中 $C_1(E)$ 为某常数；（ii）使得 $|a_p(E)|$ 为至多 4 个不同素数之积（不计重数）的素数 $p < x$ 的个数由下界 $C_2(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ 限制，其中 $C_2(E)$ 为某常数；（iii）使得 $|a_p(E)|$ 为至多 5 个不同素数之积（计重数）的素数 $p < x$ 的个数由下界 $C_3(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ 限制，其中 $C_3(E)>0$ 为某正常数。在 GRH 下，我们还证明了使得 $|a_p(E)|$ 为素数的素数 $p$ 的倒数和收敛。此外，在 GRH 下，结合 Artin 全纯性猜想与 Artin L-函数的配对关联猜想，我们证明使得 $|a_p(E)|$ 为至多 2 个不同素数之积（计重数）的素数 $p < x$ 的个数由下界 $C_4(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ 限制，其中 $C_4(E)$ 为某常数。常数 $C_i(E)$，$1 \leq i \leq 4$，均按 $E$ 显式定义，并且是另一显式常数 $C(E)$ 的因子，后者出现在猜想 $\#\{p < x: |a_p(E)|\ \text{is prime}\} \sim C(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ 中。