素数阶的椭圆曲线在素数幂域上的研究
数论
2025-04-29 v1
摘要
1988年，科尔比茨推测存在无穷多个素数p使得椭圆曲线E在F_p上的点数|E(F_p)|为素数，借鉴了孪生素数猜想。他还提出研究|E(F_{p^l})| / |E(F_p)|的素数性，以类比于(素数l >= 2时)(p^l - 1)/(p - 1)的素数性。针对这些问题及早期关于|E(F_p)|的工作，我们研究使得|E(F_{p^l})| / |E(F_p)|具有有限个素因数的素数p的无穷性，考虑CM椭圆曲线和非CM椭圆曲线。对于CM情形，我们聚焦于曲线y^2 = x^3 - x以弥补文献中的空白并给出更具体的论证。该结果是无条件的，适用于该关联CM域的Huxley大筛不等式。在非CM情形中，类似结果在GRH下通过有效的Chebotarev密度定理得出。对于CM曲线y^2 = x^3 - x，我们进一步应用向量筛法将|E(F_p)|和|E(F_{p^2})| / |E(F_p)|的几乎素数性相结合，建立了关于p <= x的素数个数下界，使得|E(F_{p^2})| / 32是无平方几乎素数。我们还研究了CM曲线在E(F_p)和E(F_{p^2})中指数有限的循环子群。
关键词
引用
@article{arxiv.2504.18732,
title = {Almost Prime Orders of Elliptic Curves Over Prime Power Fields},
author = {Likun Xie},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.18732},
year = {2025}
}