关于椭圆曲线高次扭域中完全分裂素数的研究

类似于大模数算术级数中的素数，我们可以研究在 $\mathbb{Q}$ 的高次扩张中完全分裂的素数。受 Kowalski 一个问题的启发，我们关注由非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 的 $d$ 阶扭点坐标添加而得到的扩张 $\mathbb{Q}(E[d])$。若素数 $p$ 对某个 $d$ 在 $\mathbb{Q}(E[d])$ 中完全分裂，且 $p<|\text{Gal}(\mathbb{Q}(E[d])/\mathbb{Q})| = d^{4-o(1)}$（从而 $p$ 不被 Chebotarev 密度定理中期望的主项所解释），则称 $p$ 为 $E$ 的外部素数。我们证明对几乎所有整数 $d$，存在一条非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 以及一个满足 $p<|\text{Gal}(\mathbb{Q}(E[d])/\mathbb{Q})|$ 且在 $\mathbb{Q}(E[d])$ 中完全分裂的素数 $p$。此外，我们证明对几乎所有可合适分解的 $d$，存在一条非 CM 椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 以及一个满足 $p^{0.2694} < d$ 且在 $\mathbb{Q}(E[d])$ 中完全分裂的素数 $p$。为此，我们利用 Kowalski 的工作将该问题归结为模 $d^2$ 的某些剩余类中的素数分布问题。因此，屏障 $p < d^4$ 与经典 Bombieri-Vinogradov 定理中的极限相关。为突破此屏障，我们利用 $d$ 便于分解的假设，类似于 Bombieri、Friedlander、Fouvry、Iwaniec 关于大模数算术级数中素数的工作，以及 Zhang、Polymath 和作者近期的工作。与这些工作不同，我们不需任何深刻的指数和估计（即 Kloosterman 和或 Weil/Deligne 界），而仅需经典的大筛法对乘法特征。我们使用 Harman 筛法获得素数的组合分解。