Atkin 素数与 Elkies 素数的分布

给定有限域 $F_q$ 上具有 $q$ 个元素的椭圆曲线 $E$，若奇素数 $\ell$ 不整除 $q$ 且 $t_E^2 - 4q$ 模 $\ell$ 为平方数，则称 $\ell$ 为 $E$ 的 Elkies 素数，其中 $t_E = q+1 - \#E(F_q)$，$\#E(F_q)$ 为 $E$ 上 $F_q$-有理点的个数；否则称 $\ell$ 为 Atkin 素数。我们证明，对于任意固定的 $e > 0$ 及足够大的 $q$，当 $L \ge (\log q)^e$ 时，在 $F_q$ 上所有曲线 $E$ 的平均意义下，小于 $L$ 的 Atkin 素数与 Elkies 素数 $\ell$ 的个数渐近相等。利用该结果，我们设计并分析了一种快速算法，用于生成满足 $\#E(F_p)$ 为素数的随机椭圆曲线，其中 $p$ 在给定区间 $[x,2x]$ 内的素数上均匀分布。