Mazur猜想及Kummer曲面及其超椭圆推广上的一条意外有理曲线

我们证明Mazur关于有理点拓扑的猜想的如下特例。设$E$为定义在$\mathbb{Q}$上、$j$-不变量为$1728$的椭圆曲线。对于一类由四次多项式对$E$作二次扭曲得到的椭圆铅笔，射影直线上具有正秩纤维的有理点在实拓扑中稠密。这推广了Rohrlich以及Kuwata-Wang针对二次与三次多项式所得的结果。为证明此结论，我们研究了与定义在$\mathbb{Q}$上的两条椭圆曲线之积相关的Kummer曲面$K$上的一条高度奇异的有理曲线，该曲线此前出现在Mestre、Kuwata-Wang与Satgé的著作中。我们通过寻找代数方程以更简洁的方式给出该曲线，从而直接证明其为有理曲线。我们发现同样的方程在一类推广Kummer构造的更一般曲面上也产生有理曲线。这带来了除Mazur猜想外的进一步应用，例如超椭圆曲线同时扭曲上有理点的存在性。最后，我们在不对两条椭圆曲线的$j$-不变量作任何限制的情况下，给出了Kummer曲面$K$上Mazur猜想的证明。