关于有理椭圆曲面上有理点的密度

令 $\mathscr{E}\rightarrow\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的以 $\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$ 为底（带截面）的非平凡有理椭圆曲面。我们猜想任何非平凡椭圆曲面都有 Zariski 稠密的 $\mathbb{Q}$-有理点集。本文通过几何与分析方法致力于解决当 $\mathscr{E}$ 为有理时的猜想。首先，我们证明对于有理 $\mathscr{E}$，当 $\mathscr{E}$ 是具有非零 $j$-不变量的一致平凡(isotrivial)曲面，以及当 $\mathscr{E}$ 是非一致平凡且具有类型 $II^*$、$III^*$、$IV^*$ 或 $I^*_m$ ($m\geq0$) 纤维时，集合 $\mathscr{E}(\mathbb{Q})$ 是 Zariski 稠密的。我们还利用奇偶性猜想(parity conjecture)解析证明了一族具有 $j=0$ 的一致平凡有理椭圆曲面上的密度，并指明了我们的两种方法均不能证明猜想的情况。