某些椭圆曲面上的有理点

设 $\mathcal{E}_{f}:y^2=x^3+f(t)x$，其中 $f\in\Q[t]\setminus\Q$，并假设 $\op{deg}f\leq 4$。在本文中，我们证明如果 $\op{deg}f\leq 3$，则存在一个有理基变换 $t\mapsto\phi(t)$，使得在曲面 $\cal{E}_{f\circ\phi}$ 上存在一个非挠截面。当 $\op{deg}f=4$ 且存在 $t_{0}\in\Q$ 使得曲线 $E_{t_{0}}:y^2=x^3+f(t_{0})x$ 上有无穷多个有理点时，类似的定理也成立。特别地，我们证明如果 $\op{deg}f=4$ 且 $f$ 不是偶多项式，则 $\cal{E}_{f}$ 上存在有理点。接下来，我们考虑曲面 $\cal{E}^{g}:y^2=x^3+g(t)$，其中 $g\in\Q[t]$ 是首一的六次多项式。我们证明如果多项式 $g$ 不是偶的，则存在一个有理基变换 $t\mapsto\psi(t)$，使得在曲面 $\cal{E}^{g\circ\psi}$ 上存在一个非挠截面。此外，如果存在 $t_{0}\in\Q$ 使得曲线 $E^{t_{0}}:y^2=x^3+g(t_{0})$ 上有无穷多个有理点，则这些 $t_{0}$ 的集合是无限的。我们还展示了关于形式为 $x^2-y^3-g(z)=t$ 的丢番图方程的一些结果，其中 $t$ 是一个变量。