一个具有无穷多条纤维且其秩不跳跃的椭圆曲面

设 $E$ 是定义在 $\mathbb{Q}(T)$ 上的非等平凡椭圆曲线，并记阿贝尔群 $E(\mathbb{Q}(T))$ 的秩为 $r$。对于除有限个之外的所有 $t\in \mathbb{Q}$，特化将给出定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E_t$，其阿贝尔群 $E_t(\mathbb{Q})$ 的秩至少为 $r$。据猜想，使得 $E_t(\mathbb{Q})$ 的秩恰好为 $r$ 的 $t\in\mathbb{Q}$ 的集合具有正密度。我们构造了首个已知的例子，使得对于无穷多个 $t\in\mathbb{Q}$，$E_t(\mathbb{Q})$ 的秩均为 $r$。对于我们所构造的特定秩为 $0$ 的 $E/\mathbb{Q}(T)$，我们将利用 Green 关于素数中三项算术级数的定理，来构造使得 $E_t$ 仅有少数几个我们足够了解的坏约化素数的 $t\in\mathbb{Q}$，从而能够进行 2-下降。