椭圆整除序列与关于有理点的不可判定问题
数论
2007-05-23 v3 逻辑
摘要
Julia Robinson 通过公式 (\forall \exists \forall \exists)(F=0) 给出了有理数 Q 中有理整数 Z 的一阶定义，其中全称量词共跨越 8 个变量，F 为多项式。这意味着 Q 的 \Sigma_5-理论是不可判定的。我们证明一个关于椭圆曲线的猜想给出了 Z 在 Q 中以量词复杂度为 \forall \exists 的解释，仅涉及一个全称量化变量。这从两方面改进了在 Q 中定义 Z 的复杂度，并意味着 Q 的 \Sigma_3-理论，甚至 \Pi_2-理论是不可判定的（回顾一下，Q 上的希尔伯特第十问题即问 Q 的 \Sigma_1-理论是否不可判定）。简言之，若承认该猜想，则存在一个 Q 上的单参数超曲面族，无法判定它们是否都有有理点。该猜想与椭圆曲线及其在有理 2-下降下的像上的椭圆整除序列的性质相关，即在适当剩余类中原素因子的存在性；我们讨论如何证明该猜想的弱密度版本并给出一些启发式论证。
引用
@article{arxiv.math/0412473,
title = {Elliptic divisibility sequences and undecidable problems about rational points},
author = {Gunther Cornelissen and Karim Zahidi},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0412473},
year = {2007}
}
备注
39 pages, uses calrsfs. 3rd version: many small changes, change of title