代数扩张中不可定义性的拓扑方法

对任意子集 $Z \subseteq \mathbb{Q}$，考虑子域集 $S_Z \subseteq \overline{\mathbb{Q}}$，其中每个 $L$ 包含一个余有限子集 $C \subseteq L$，该 $C$ 在 $L$ 中泛可定义且 $C \cap \mathbb{Q}=Z$。在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 的子域集 $\text{Sub}(\overline{\mathbb{Q}})$ 上赋予自然拓扑后，我们证明：若 $Z$ 在 $\mathbb{Q}$ 中非稀疏（thin），则 $S_Z$ 在 $\text{Sub}(\overline{\mathbb{Q}})$ 中贫集（meager）。此处，thin 与 meager 分别依算术几何与拓扑意义表示“小”。例如，这意味着仅有贫集般的域 $L$ 具有代数整数环 $\mathcal{O}_L$ 在 $L$ 中泛可定义这一性质。主要工具为 Hilbert 不可约性定理与一个新的存在定义范式定理。该范式定理（或具独立意义）粗略表明：$\mathbb Q$ 的代数扩张中每个 $\exists$-可定义子集都是单点及由绝对不可约多项式定义的超曲面投影的有限并。