全虚域中整数环的可定义性与可判定性

我们证明了$\mathbb{Q}^{\text{tr}}$的整数环在$\mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$的整数环中是存在可定义的，其中$\mathbb{Q}^{\text{tr}}$表示所有全实数构成的域。这意味着$\mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$的整数环是不可判定的，且在$\mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$中是一阶不可定义的。更一般地，当$L$是全实域$K$的全虚二次扩张时，我们利用阶$R\subseteq \mathcal{O}_L$的单位群$R^\times$来产生存在可定义的全实子集$X\subseteq \mathcal{O}_L$。在$K$的一定条件下，包括所谓的$\mathcal{O}_K$的JR数取最小值$\text{JR}(\mathcal{O}_K) = 4$，我们推得$\mathcal{O}_L$的不可判定性。这扩展了先前在相反情形$\text{JR}(\mathcal{O}_K) = \infty$下证明类似结果的工作。特别地，与之前的工作不同，我们不要求$L$仅含有限多个单位根。