代数函数域扩张上积分函数环的一次定义与不可判定性

本文研究关于无限代数扩张 ${\bf K}$ 及其 $\mathcal{S}$-积分函数子环的可定义性与可判定性问题。我们关注满足局部性质 $q$-boundedness 的域 ${\bf K}$，该性质可视为 $\mathbb{Q}$ 上代数扩张先行工作的函数域类比。一个简单结论表明：若 ${\bf K}$ 为 $q$-bounded Galois 扩张 $\mathbb{F}_p(t)$，则对无穷多个非常数 $u$，其积分闭包 $\mathcal{O}_{\bf K}$ 在 ${\bf K}$ 中一阶可定义。若进一步假设 ${\bf K}$ 的常数子域为无限，则 $\mathcal{O}_{\bf K}$ 与 ${\bf K}$ 均具有不可判定的一阶理论，且 $\mathbb{F}_p[w]$ 对每个非常数 $w$ 均可在 ${\bf K}$ 中被定义。我们的主要工具是范数方程与 Hasse 范数原理，取 Rumely 的方法为 spirit。本文与 Mart\'inez-Ranero、Salcedo 与 Utreras 最近的 arXiv 预印本形成交叉，但我们的可定义性结果更为广泛，不可判定性结论更为强有力。