如 $\mathbb Q$ 般简单：有理数子环与数域上的希尔伯特第十问题

有理数域 $\mathbb Q$ 上的希尔伯特第十问题是数论不可判定性领域中最大的开放问题之一。本文构造了 $\mathbb Q$ 的新的可计算呈现子环 $R$，其具有性质：对 $R$ 的希尔伯特第十问题（记为 $HTP(R)$）与 $HTP(\mathbb Q)$ 图灵等价。我们能够对所构造的环 $R$ 施加若干额外约束。给定任意可计算非负实数 $r \leq 1$，我们构造这样的环 $R = Z[\frac1p : p \in S]$，其中 $S$ 是下密度为 $r$ 的素数集合。我们还构造了这样的环 $R$ 的例子：判定是否属于 $R$ 与判定 $HTP(R)$ 图灵等价，也与判定 $HTP(\mathbb Q)$ 等价。或者，我们可以使 $HTP(R)$ 具有高于 $HTP(\mathbb Q)$ 的任意可计算枚举度。最后，我们证明对数域的子环及其素理想也可做同样的事。