HTP-完全的有理数环

对环 $R$，希尔伯特第十问题 $HTP(R)$ 是 $R$ 上多变量多项式方程且在 $R$ 中有解的集合。我们将 $HTP$ 视为一个枚举算子，将每个素数集合 $W$ 映射到 $HTP(\mathbb Z[W^{-1}])$，后者自然被视为 $\mathbb Z[X_1,X_2,\ldots]$ 中多项式的集合。已知对几乎所有 $W$，跳跃 $W'$ 并不 $1$-归约到 $HTP(R_W)$。相反，我们证明每个图灵度都包含一个集合 $W$ 使得这样的 $1$-归约成立：这些 $W$ 被称为“HTP-完全的”。进一步，我们推导出关于从 $HTP(\mathbb Z[W^{-1}])$ 得到 $W'$ 的判定过程无法在测度 $1$ 的集合上一致成功的额外结果，以及关于在 $\mathbb Z$ 于 $\mathbb Q$ 中有存在定义时 $HTP$ 算子的边界集的后果。