行列式概型的形变与无阻碍性

设 $Hilb ^{p(t)}(P^n)$ 为具有 Hilbert 多项式 $p(t) \in Q[t]$ 的 $P^n$ 中闭子概型的 Hilbert 概型，并令 $W:= \overline{W(\underline{b};\underline{a};r)}$ 为 $Hilb ^{p(t)}(P^n)$ 中由某大小为 $t\times (t+c-1)$ 的矩阵 $\mathcal A$ 的 $(t-r+1)\times (t - r+1)$ 子式消失所定义的行列式概型轨迹的闭包，其中 $ij$ 元为次数 $a_j-b_i$ 的齐次形式，且 $r$ 满足 $\max\{1,2-c\} \le r < t$。$W$ 是不可约代数集。首先，我们计算了 $W$ 维数的一个与 $r$ 无关的上界，用 $a_j$ 和 $b_i$ 表示，该界在 $r=1$ 时是紧的。在线性情形（$a_j = 1, b_i=0$）及充分接近的情形下，我们猜想并在一定程度上证明了该界对所有 $r$ 均能达到。进而，我们研究 $W$ 在何种程度上是 $Hilb ^{p(t)}(P^n)$ 的一般光滑分支。在对整数 $a_j$ 和 $b_i$ 的一些弱数值假设（或某些深度条件）下，我们猜想并经常证明 $W$ 是一般光滑分支。此外，我们还研究了 $(X)\in W$ 的齐次坐标环的正规模及一个密切相关模的深度。我们猜想并在某些情形下证明它们的余深度常为 1（相应地 $r$）。这些结果将先前关于标准行列式概型的结果推广到行列式概型；即作者先前关于 $W(\underline{b};\underline{a};1)$ 的结果推广到 $1\le r < t$ 且 $c\ge 2-r$ 的 $W$。最后，研究了由 $\mathcal A$ 确定的映射的余核的外幂的形变，并证明若 $\dim X \ge 3$，其形变由 $X \subset P^n$ 的形变给出。本工作包含许多阐明所得结果的例子以及大量开放问题；其中一些在最后一节作为猜想收集。