多项式方程 Ramsey 理论中的不可判定性与 Hilbert 第十题

我们证明了若干与分区正则性和密度 Ramsey 理论中多项式方程研究相关的集合是不可判定的。特别是，我们证明了 Homogeneous 多项式集合 $p \in \mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]$ 对于方程 $p(x_1,\cdots,x_n) = 0$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上是否分区正则是不可判定的，这基于 Hilbert 的第十题对 $\mathbb{Q}$ 的结果。对于其他整数域，得到类似结论但无需假设。更一般地，我们确定了各种相关集合的精确 lightface 复杂性。例如，我们证明了 Homogeneous 多项式集合 $p \in \mathbb{F}_q(t)[x_1,\cdots,x_n]$ 对于方程 $p(x_1,\cdots,x_n) = 0$ 在 $\mathbb{F}_q(t)\setminus\{0\}$ 上是否分区正则是 $\Pi_2^0$-complete。我们还证明了若干独有价值的其他结果，包括密度 Ramsey 理论在可数可消去左 amenable 半群上的紧致原理和一致性原理，以及可数可消去左可逆半群的保 measure-preserving 系统的自然延拓的存在。