通过 Ramsey 性质区分有理数的子群

如果一个具有整数系数的线性方程组在实数的子集 $S$ 上是划分正则的（partition regular），意味着每当 $S\setminus\{0\}$ 被有限着色时，该方程组总有一个解包含在某个颜色类中。众所周知，存在一个在 $\mathbb R$ 上划分正则但在 $\mathbb Q$ 上不划分正则的无限线性方程组；最近的研究（回答了一个长期存在的开放问题）表明，也可以用这种方式区分 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb Z$。我们的目标是表明从 $\mathbb Z$ 到 $\mathbb Q$ 的过渡并非突变的：存在一个由 $\mathbb Q$ 的子群组成的无限链，其中每个子群都有一个在其上划分正则但在其前驱子群上不划分正则的方程组。实际上我们证明了更强的结论：主要结果是，如果 $R$ 和 $S$ 是 $\mathbb Q$ 的子环且 $R$ 不包含于 $S$，则存在一个在 $R$ 上划分正则但在 $S$ 上不划分正则的方程组。例如，这意味着上述链条可以是不可数的。