置换类的分裂与 Ramsey 性质

若能将置换 $p$ 的元素染为红色和蓝色，使得红色元素序同构于置换 $q$ 且蓝色元素序同构于置换 $r$，则称 $p$ 由 $q$ 和 $r$“合并”而成。“置换类”是指在取子置换运算下封闭的置换集合。若置换类 $C$ 存在两个真子类 $A$ 和 $B$，使得 $C$ 中的每个元素均可通过合并 $A$ 中某元素与 $B$ 中某元素得到，则称 $C$ 是“可分裂的”。近期多篇论文利用可分裂性作为工具，推导特定置换类的计数结果。本文旨在系统研究可分裂性。我们的主要结果表明：若 $q$ 是阶数至少为四的和可分解置换，则所有避免 $q$ 的置换类 $\text{Av}(q)$ 是可分裂的；而若 $q$ 是单置换，则 $\text{Av}(q)$ 是不可分裂的。我们还证明了某些置换类的分裂与有界团大小的圆图着色之间存在紧密联系。事实上，我们的可分裂性结果可解释为 Gyárfás 定理的推广，该定理指出有界团大小的圆图具有有界色数。