行列式概形的族维数

一个余维数为 $c$ 的概形 $X\subset \PP^{n+c}$ 称为{\em 标准行列式概形}，如果它的齐次饱和理想可由一个齐次 $t \times (t+c-1)$ 矩阵的最大子式生成；若 $X$ 是标准行列式概形且是一个一般完全交，则称 $X$ 为{\em 好行列式概形}。给定整数 $a_0,a_1,...,a_{t+c-2}$ 和 $b_1,...,b_t$，我们用 $W(\underline{b};\underline{a})\subset \Hi ^p(\PP^{n+c})$（相应地 $W_s(\underline{b};\underline{a})$）表示由 $t\times (t+c-1)$ 矩阵 $(f_{ij})^{i=1,...,t}_{j=0,...,t+c-2}$ 的最大子式定义的好（相应地标准）行列式概形 $X\subset \PP^{n+c}$ 的轨迹，其中 $f_{ij}\in k[x_0,x_1,...,x_{n+c}]$ 是次数为 $a_j-b_i$ 的齐次多项式。本文处理以下三个基本问题：确定 (1) $W(\underline{b};\underline{a})$（相应地 $W_s(\underline{b};\underline{a})$）关于 $a_j$ 和 $b_i$ 的维数，(2) $W(\underline{b};\underline{a})$ 的闭包是否为 $\Hi ^p(\PP^{n+c})$ 的不可约分支，以及 (3) $\Hi ^p(\PP^{n+c})$ 沿 $W(\underline{b};\underline{a})$ 是否一般光滑。关于问题(1)，我们给出了 $W(\underline{b};\underline{a})$（相应地 $W_s(\underline{b};\underline{a})$）维数的一个上界，该上界对所有整数 $a_0,a_1,...,a_{t+c-2}$ 和 $b_1,...,b_t$ 均成立，并猜想该上界是紧的。该猜想对 $2\le c\le 5$ 成立，且在 $c\ge 6$ 并对 $a_0,a_1,...,a_{t+c-2}$ 和 $b_1,...,b_t$ 附加某些限制时成立。对于问题(2)和(3)，我们在 $2\le c \le 4$ 且 $n\ge 2$ 时得到肯定回答，并在 $c\ge 5$ 且满足某些数值假设时亦如此。