希尔伯特概形的一个Borel开覆盖

设$p(t)$是$\PP^n$中次数为$d$的可容许希尔伯特多项式。希尔伯特概形$\hilb^n_p(t)$可实现为某个合适格拉斯曼流形$\mathbb G$的闭子概形，因此它可由$\mathbb G$的普吕克坐标中的齐次方程全局定义，并由普吕克坐标非零的开子集覆盖，每个开子集嵌入为仿射空间$A^D$（$D=\dim(\mathbb G)$）的闭子概形。然而，普吕克坐标的数量$E$如此之大，以至于在此设置中进行有效计算实际上是不可能的。在本文中，利用$\hilb^n_p(t)$的对称性，我们展示了一个新的开覆盖，由Borel固定理想上的标记概形组成，其数量远小于$E$。利用标记概形的性质，我们证明了这些开子集在其自然嵌入$\Af^D$中由次数$\leq d+2$的方程定义。此外，我们找到了维数远低于$D$的仿射空间中的新嵌入，并刻画了那些仍由次数$\leq d+2$的方程定义的嵌入。证明是构造性的，并使用类似于格罗布纳基的多项式约化过程，但无需项序。在这个新设置中，我们可以在许多非平凡情况下实现显式计算。