使用单个全称量词在数域的大环中定义整数

Julia Robinson 已通过公式 $(\forall \exists \forall \exists)(F=0)$ 给出了有理整数 $\mathbb Z$ 在有理数 $\mathbb Q$ 中的一阶定义，其中 $\forall$ 量词遍历总共 8 个变量，且 $F$ 为多项式。我们证明，对于一大类不包含 $\mathbb Q$ 的数域，对于任意 $\epsilon>0$，存在一个素数集 $\cal S$，其自然密度超过 $1-\epsilon$，使得 $\mathbb Z$ 可以作为 $K$ 的“大”子环 $$\{x \in K : \ord_{\mathfrak p}x >0, \forall \mathfrak p \not \in \cal S \}$$ 的子集，通过形式为 $(\exists \forall \exists)(F=0)$ 的公式来定义，其中仅有一个 $\forall$ 量词，且 $F$ 为多项式。