椭圆曲线上的连续平方序列

设 $C$ 为定义在 $\mathbb Q$ 上的椭圆曲线，由方程 $y^2=x^3+Ax+B$ 给出，其中 $A,B\in\mathbb Q$。如果有理点序列 $(x_i,y_i)\in C(\mathbb Q),\,i=1,2,\ldots,$ 的 $x$ 坐标序列 $x_i,i=1,2,\ldots$ 由连续平方组成，则称其在 $C$ 上形成连续平方序列。我们构造了一族具有 $5$ 项连续平方序列的椭圆曲线 $C$。此外，该序列由 $C(\mathbb Q)$ 中五个独立的有理点组成。特别地，$C(\mathbb Q)$ 的秩 $r$ 满足 $r\ge 5$。