椭圆曲线上的整点与 Bombieri-Pila 界

设 C 为一条具有整数系数、次数为 d 的仿射平面代数曲线。1989 年，Bombieri 和 Pila 证明，若取一个边长为 N 的盒子，则 C 在该盒子内所能包含的整点不超过 $O_{d,\epsilon}(N^{1/d+\epsilon})$ 个。重要的是，其隐含常数与曲线的系数无关。某些有理曲线的例子表明该界是紧的，但长期以来人们认为，当限制在非有理曲线时，在保持界的一致性的同时应当可以对其进行改进。在本文中，我们考虑将此问题限制在椭圆曲线上，并证明对于这些曲线的一大族，Bombieri-Pila 界可以得到改进。所涉及的技术包括整点排斥、高度理论以及大筛法。作为应用，我们证明了一般 1 次 del Pezzo 曲面上具有有界高度的有理点数目的一致界。