计数具有一个有理 2- torsion 点的椭圆曲线上的有理点

设 $E/\mathbb{Q}$ 为有理数上的椭圆曲线。由 Bombieri 与 Zannier 的工作可知，若 $E$ 具有完全有理 $2$-挠率，则 Weil 高度以 $B$ 为界的有理点个数 $N_E(B)$ 为 $\exp\left(O\left(\frac{\log B}{\sqrt{\log\log B}}\right)\right)$。在本文中，我们利用经由 $2$-同源的下降法将此结果推广到仅有一个非平凡有理 $2$-挠率点的椭圆曲线。此外，我们利用 Petsche 的一个结果，对这些曲线推导出更强的上界 $N_{E}(B) = \exp\left(O\left(\frac{\log B}{\log\log B}\right)\right)$，并从证明中去掉了一个深刻的超越论成分。