椭圆曲线上整点数的平均值有界

我们证明，当椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 按高度排序时，整点数 $\#|E(\mathbb{Z})|$ 的平均值有界，实际上小于 $66$（在极简主义猜想下至多为 $\frac{8}{9}$）。这里“$E(\mathbb{Z})$”指的是相应拟极小 Weierstrass 模型 $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$ 上的整点，该模型用于计算朴素高度。该方法结合了 Silverman、Helfgott、Helfgott-Venkatesh 以及 Bhargava-Shankar 工作中的思想，并对“大多数”椭圆曲线进行了局部高度的细致分析。同样的方法也适用于在族 $y^2 = x^3 + B$、$y^2 = x^3 + Ax$ 和 $y^2 = x^3 - D^2 x$ 上平均地界定整点。