k(t) 上 j-不变量为 0 的椭圆曲线上的整点

我们考虑由形如 $y^2=x^3+f(t)$ 的方程定义的椭圆曲线，其中 $f\in k[t]$ 的系数属于特征不为 $2$ 或 $3$ 的完美域 $k$。通过进行 $2$ 和 $3$-下降，在关于 $f$ 的因式分解的适当假设下，我们得到了这些曲线上整点个数的界。这些界改进了 Hindry 和 Silverman 的一般结果。当 $f$ 的次数至多为 $6$ 时，我们针对小高度整点的个数，给出了用对应于我们曲线的 $2$ 和 $3$-挠率的 $k$-曲线的 Picard 群的某些子群表示的精确表达式。这使我们能够重新得到 Bremner 的显式结果，并对 Pillai 方程给出新的认识。