亏格二曲线上有理点的平均个数有界

我们证明，当带有标记Weierstrass点的亏格二曲线 $C/\mathbb{Q}$ 按高度排序时，有理点的平均个数 $\#|C(\mathbb{Q})|$ 是有界的。该论证遵循与椭圆曲线（准极小Weierstrass模型）上有理点平均个数有界性的球填充证明相同的思想。即，我们手动界定小高度点的个数，通过建立显式Mumford间隙原理并利用Kabatiansky-Levenshtein关于球码的定理（该技术可追溯到Silverman、Helfgott以及Helfgott-Venkatesh的工作）来界定中高度点的个数，并利用Bombieri-Vojta对Faltings定理的证明来界定大高度点的个数。具体而言，在处理非小高度点时，我们证明 $C_f: y^2 = f(x)$ 上满足 $h(x) > 8 h(f)$ 的有理点 $(x,y)$ 的个数为 $\ll 1.872^{\mathrm{rank}(\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}))}$，由Bhargava-Gross关于该族雅可比簇 $2$-Selmer群平均大小的定理可知其平均有限。我们注意到，我们在小高度和大高度情形下的论证可推广到一般亏格 $g\geq 2$，尽管对于中点我们需使用Stoll关于亏格 $2$ 中非阿基米德局部高度差的界。例如，我们证明光滑射影亏格 $g\geq 2$ 曲线 $C/\mathbb{Q}$ 上满足 $h(P)\gg_g h(C)$ 的有理点 $P\in C(\mathbb{Q})$ 的个数为 $\ll 1.872^{\mathrm{rank}(\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}))}$，且事实上一旦 $g\gg 1$ 指数底可降至 $1.311$，尽管专家应已熟知（差异在于使用Kabatiansky-Levenshtein界代替更初等的技术）。