基于秩 0 商策略的某些亏格 $3$ 曲线的有理点

1922 年，Mordell 猜想：定义在 $\mathbb{Q}$ 上、亏格 $g \ge 2$ 的光滑曲线 $C$ 的有理点集是有限的。该猜想已于 1983 年由 Faltings 证明。然而，Coleman 于 1985 年遵循 Chabauty 的方法确定了 #C(\mathbb{Q}) 的上界，该方法考虑 $C$ 的 Jacobian 簇具有 Mordell-Weil 秩 $< g$ 的特殊情形。2006 年，Stoll 改进了 Coleman 界。Balakrishnan 与其合作者在 [1] 中实现了 Chabauty-Coleman 方法以计算亏格 $3$ 超椭圆曲线的有理点。随后，Hashimoto 与 Morrison [8] 对 Picard 曲线做了同样的工作。但此事尚未对所有亏格 3 曲线完成。本文中，我们描述了一种算法，用于计算任意亏格 $3$ 曲线 $C/\mathbb{Q}$（其为 Jacobian 秩为 $0$ 的亏格 $1$ 曲线的 $2$ 次覆盖）的完整有理点集 $C(\mathbb{Q})$。我们在 Magma 中实现了该算法，并在选自平面四次曲线与亏格 $3$ 超椭圆曲线数据库的约 $40,000$ 条曲线上运行。我们讨论了一些有趣的例子，并展示了有理点数目达到 Stoll 界的曲线。