曲线对称幂的有效 Chabauty 方法

Faltings 定理指出，亏格 $g \geq 2$ 的曲线具有有限多个有理点。利用 Faltings、Mumford、Parshin 和 Raynaud 的思想，可以得到有理点数量的上界，但该界过大以至于在任何实际意义上都无法使用。1985 年，Coleman 证明了 Chabauty 方法（在曲线 Jacobian 的 Mordell-Weil 秩小于 $g$ 时适用）可用于给出亏格 $g > 1$ 的曲线有理点数目的良好有效界。我们借鉴非阿基米德几何的思想，证明当曲线 Jacobian 的 Mordell-Weil 秩至多为 $g-d$ 且曲线进一步满足某些刚性解析条件时，我们也能对 $X$ 的 $d$ 次对称幂的特殊集合之外的有理点数目给出有效界，其中 $X$ 是亏格 $g > d$ 的曲线。