模曲线的二次 Chabauty 方法

设 $X/\mathbb{Q}$ 为 genus $g \ge 2$ 的曲线，其 Jacobian 为 $J$，令 $\ell$ 为良约化素数。利用 Selmer 簇，Kim 定义了一个递减序列 \n$$X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots$$ \n该序列均包含 $X$ 的有理点。得益于 Coleman 的工作，已知只要 $J$ 的 Mordell--Weil 秩小于 $g$，则'Chabauty 集’$X(\mathbb{Q}_\ell)_1$ 是有限的。在这种情况下，人们拥有一种实用的策略，往往能成功计算出 $X$ 的有理点集。Balakrishnan 和 Dogra 最近表明，只要 Mordell--Weil 秩小于 $g + \rho-1$（其中 $\rho$ 是 $J/\mathbb{Q}$ 的 N\'eron-Severi 秩），则'二次 Chabauty 集’$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ 是有限的。鉴于此，给出一些 $\rho \ge 2$ 的曲线族是有趣的，因为在这些曲线族上二次 Chabauty 方法比经典 Chabauty 方法更有可能成功。在本注记中，我们证明了对于所有 genus 至少为 3 的模曲线，情况确实如此。