椭圆曲线与曲面上的低高度点, I: 小 d 的 P^1 上椭圆曲面
代数几何
2007-05-23 v1 数论
摘要
对 n=1,2,3 中的每一个，我们求出判别式次数 d=12n（等价地，算术亏格 n）的 C(T) 上椭圆曲线 E 的非挠点 P 的最小高度 h^(P)，并给出达到此最小值的所有 (E,P)。已知最小 h^(P) 对 n=1 为 1/30（Oguiso-Shioda）、对 n=2 为 11/420（Nishiyama），但一般的 (E,P) 公式此前未知，且不知这些也是任意亏格函数域上判别式次数 12n 的椭圆曲线的最小值。对 n=3，最小高度（23/840）与显式曲线都是新的。这些 (E,P) 还具有如下性质：对每个 m=1,2,...,M，mP 是整点（朴素高度为零的点），其中 n=1,2,3 时 M=6,8,9；这在三种情形中也都是极大的。
引用
@article{arxiv.math/0608593,
title = {Points of Low Height on Elliptic Curves and Surfaces, I: Elliptic surfaces over P^1 with small d},
author = {Noam D. Elkies},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0608593},
year = {2007}
}
备注
15 pages; some lines in the TeX source are commented out with "%" to meet the 15-page limit for ANTS proceedings