椭圆曲线上点处 $\phi_{n}$ 与 $\psi_{n}^{2}$ 的最大公共赋值

给定椭圆曲线 $E/K$ 在任意有理素数 $p$ 的有限扩张 $K$ 上的极小模型,以及任意无穷阶点 $P \in E(K)$,我们精确确定了 $\min \left( v \left( \phi_{n}(P) \right), v \left( \psi_{n}^{2}(P) \right) \right)$,其中 $v$ 是 $K$ 上的规范化赋值,$\phi_{n}(P)$ 与 $\psi_{n}(P)$ 是该曲线此模型下由乘以 $n$ 所引出的多项式。