平移乘法子群的乘积结构及其在丢番图元组中的应用

本文研究了平移乘法子群的乘积结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系。在众多新结果中，我们重点介绍如下主要贡献。首先，我们证明了若乘法子群 $G$ 的一个非平凡平移包含一个乘积集 $AB$，则 $|A||B|$ 本质上被 $|G|$ 所界，改进了 Vinogradov 经典结果的一个著名推论。其次，我们对 $M_k(n)$（即其元素两两乘积均比某个 $k$ 次幂小 $n$ 的集合的最大大小）给出了更紧的上界，改进了 Dixit、Kim 和 Murty 近期的结果。我们证明中的一个主要要素是有限域上广义丢番图元组最大大小的第一个非平凡上界。此外，我们确定了有限域上平方阶广义丢番图元组无穷族的最大大小，这具有独立意义。我们还对 Sárközy 关于平移乘法子群乘法分解的一个猜想取得了显著进展。特别地，我们证明了对于几乎所有素数 $p$，集合 $\{x^2-1: x \in \mathbb{F}_p^*\} \setminus \{0\}$ 不能非平凡地分解为 $\mathbb{F}_p$ 中两个集合的乘积。