数论元与移位幂中的 Diophantine 多项式与乘积集合

设 $k\geq 2$ 且 $n\neq 0$。具有性质 $D_k(n)$ 的 Diophantine 多项式是一组正整数集合 $A$，满足对于所有 $a,b\in A$ 且 $a\neq b$，都有 $ab+n$ 为 $k$ 次幂。此类对经典 Diophantine 多项式的泛化已受到广泛研究。本文证明了若干与鲁棒版本此类 Diophantine 多项式相关的结论，并讨论其关于包含于非平凡偏移的完美幂集合或其特殊子集中的乘积集合的应用。特别是，我们大幅改进了 B\'{e}rczes--Dujella--Hajdu--Luca 以及 Yip 等人的若干结果。我们还证明了若干有趣的条件性结果。我们的证明基于 sieve 方法、Diophantine 近似和极端图论思想的一种新型结合。