$\mathbb{Z}_p$ 上的丢番图元组

对环 $R$ 中元素 $r$，一个丢番图 $D(r)$ $m$-元组是 $R$ 中元素组成的 $m$-元组 $(a_1,a_2,\ldots,a_m)$，使得对所有 $i\neq j$ 有 $a_ia_j+r$ 为 $R$ 中的完全平方。本文中，我们计算并估计环 $\mathbb{Z}_p$（$p$-进整数环）及其剩余类域 $\mathbb{F}_p$ 中 $D(r)$ $m$-元组集合的测度。