关于平方数类比的一组特定线性丢番图方程系统

本研究探讨了是否存在整数三元组$(k, \ell, m)$，使得$k$、$\ell$、$m$、$k+\ell$、$\ell+m$、$m+k$、$k+\ell+m$均属于$S(\alpha)$，其中$S(\alpha)$是所有形如$\lfloor \alpha n^2 \rfloor$（对于$n\geq \alpha^{-1/2}$）的整数的集合，$\lfloor x\rfloor$表示$x$的整数部分。我们证明了$T(\alpha)$（所有此类三元组的集合）对于所有$\alpha\in (0,1)\cap \mathbb{Q}$以及几乎所有$\alpha\in (0,1)$（在Lebesgue测度意义下）都是无限的。此外，我们证明了如果存在$\alpha>0$使得$T(\alpha)$有限，则不存在完美欧拉砖。我们还考察了所有形如$\lceil \alpha n^2 \rceil$（对于$n\in \mathbb{N}$）的整数的集合。