椭圆整除序列项乘积中的完美幂

涉及递推序列的丢番图问题有着悠久的历史，是数论中一个活跃的研究课题。在本文中，我们考虑方程 \begin{align*} B_mB_{m+d}\dots B_{m+(k-1)d}=y^\ell \end{align*} 于正整数 $m,d,k,y$ 中且 $\gcd(m,d)=1$ 与 $k\geq 2$，其中 $\ell\geq 2$ 为固定整数，且 $B=(B_n)_{n=1}^\infty$ 为椭圆整除序列，一类重要的非线性递推。我们证明上述方程仅有有限多个解。事实上，我们给出了一个寻找所有可能解的算法，前提是给定 $B$ 中 $\ell$-th powers 的集合。（注意该集合已知为有限。）我们通过一个例子阐明了我们的方法。