Diophantine 元与 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的积分理想

设 $n$ 为二次扩张 $\mathbb{Q}$ 的基本判别数。我们证明：对于具有性质 $D(n)$ 的每个 Diophantine $m$ 元 $\{t_1, t_2, \ldots, t_m\}$，存在 $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ 的积分理想 $\mathfrak{t}_1, \mathfrak{t}_2, \ldots, \mathfrak{t}_m$ 和 $c\in \{1,2\}$，使得 $t_i= c\mathcal{N}(\mathfrak{t}_i)$，其中 $\mathcal{N}(\cdot)$ 表示从 $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ 到 $\mathbb{Q}$ 的范数映射。此外，我们显式构造上述理想，用于 gcd$(a_1, a_2) = 1$ 的 Diophantine 二元 $\{a_1, a_2\}$。