$\mathbb{Z}[\sqrt{4k + 2}]$ 中的丢番图 $D(n)$-四元组

设 $d$ 为无平方因子整数，$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 为二次整数环。对给定 $n\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$，若 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中 $m$ 个非零互异元素组成的集合满足其中任意两个的乘积加上 $n$ 为 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的平方数，则称其为 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的丢番图 $D(n)$-$m$-元组（或简称 $D(n)$-$m$-元组）。假设 $d \equiv 2 \pmod 4$ 为正整数，且 $x^2 - dy^2 = -1$ 与 $x^2 - dy^2 = 6$ 在整数中有解。本文中，我们证明对 $n = 4m + 4k\sqrt{d}$（其中 $m, k \in \mathbb{Z}$ 满足 $m \not\equiv 5 \pmod{6}$ 且 $k \not\equiv 3 \pmod{6}$），$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中存在无穷多个 $D(n)$-四元组。此外，对 $n = (4m + 2) + 4k\sqrt{d}$，当满足 $m \not\equiv 9 \pmod{12}$ 且 $k \not\equiv 3 \pmod{6}$，或 $m \not\equiv 0 \pmod{12}$ 且 $k \not\equiv 0 \pmod{6}$ 时，我们证明同样结论。最后，针对 $d = 10$，给出了支持上述例外 $n$ 值在 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中存在具 $D(n)$ 性质四元组的若干例子。