关于 $D(-8k^2)$-对 $\{8k^2, 8k^2+1\}$ 的扩张

设 $n$ 为非零整数。若一个由 $m$ 个正整数构成的集合中，任意两个不同元素的乘积加上 $n$ 均为完全平方数，则称该集合为 $D(n)$-$m$-元组。设 $k$ 为正整数。我们通过初等方法证明，$D(-8k^2)$-对 $\{8k^2, 8k^2+1\}$ 至多可扩张为一个四元组（第三和第四元素只能是 $1$ 和 $32k^2+1$）。最后，我们建议将 $D(-k^2)$-三元组 $\{ 1, 2k^2, 2k^2+2k+1\}$ 作为未来可能的研究方向。