关于 $D(4)$-对 $\{a, ka\}$（其中 $k\in \{2,3,6\}$）

设 $a$ 与 $b=ka$ 为正整数且 $k\in \{2, 3, 6\}$，使得 $ab+4$ 为完全平方数。本文研究 $D(4)$-对 $\{a, ka\}$ 的可扩性。更确切地说，我们通过考虑依赖于 $a$ 的三族正整数 $c$ 证明：若 $\{a, b, c, d\}$ 是满足其任意两元素之积加 $4$ 均为完全平方数的正整数集合，则 $d$ 由下式给出：$$d=a+b+c+\frac{1}{2}\left(abc\pm \sqrt{(ab+4)(ac+4)(bc+4)}\right).$$ 作为推论，我们证明任何包含对 $\{a, ka\}$ 的 $D(4)$-四元组都是正则的。