Diophantus 问题的一个多项式变体及其推论

我们证明了 $\mathbb{R}[X]$ 中的每个 Diophantine 四元组都是正则的。更确切地说，我们证明了如果 $\{a, b, c, d\}$ 是 $\mathbb{R}[X]$ 中四个非常数多项式构成的集合，且其中任意两个不同元素的乘积加 $1$ 是 $\mathbb{R}[X]$ 中某个多项式的平方，那么 $$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1).$$ 该结果的一个推论是：不存在由 $\mathbb{Z}[X]$ 中四个非常数多项式构成的集合，使得其中任意两个元素的乘积加上一个非完全平方的正整数 $n$ 后，成为 $\mathbb{Z}[X]$ 中某个多项式的平方。我们的结果还意味着：不存在由 $\mathbb{Z}[X]$ 中五个非常数多项式构成的集合，使得其中任意两个元素的乘积加上一个完全平方的正整数 $n$ 后，成为 $\mathbb{Z}[X]$ 中某个多项式的平方。