埃尔德茨-施特劳斯方程的精确多项式族

埃尔德茨-施特劳斯猜想于 1948 年由保罗·埃尔德茨 (Paul Erdős) 和 ernst G. Straus 提出，询问 Diophantine 方程 $$\frac{4}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$$ 是否为每个整数 a ≥ 2 找到正整数解 b, c, d ∈ ℕ*。虽然该猜想已被证实为所有偶数以及所有同于 3 (mod 4) 的整数，但 a ≡ 1 (mod 4) 的情况仍是核心开放问题。本文中，我们构造了四个显式的、具有 x, y, z ≥ 1 的不可界多项式 p₁(x,y,z), p₂(x,y,z), p₃(x,y,z), p₄(x,y,z)，使得前三个多项式插入形式 a = 4p_i(x,y,z)+1 后，总能产生埃尔德茨-施特劳斯方程具有显式解的值 a。因此，前三个多项式各自单独满足其所有输出的猜想。我们进一步猜测 $$4p₁(x,y,z)+1，\quad 4p₂(x,y,z)+1，\quad 4p₃(x,y,z)+1，\quad 4p₄(x,y,z)+1$$ 共同覆盖所有同于 1 (mod 4) 的整数。对 q = 10⁹ 范围内的所有 4q+1 形式整数进行大量计算验证确认，每个此类整数至少来自上述四个族中的一个。其中一个多项式alone 可生成所有至至少 1.2×10¹⁰ 的此类素数。这些结果提供了强大的计算证据和与猜想解决相关的显式构造。