广义 Erd\H{o}s-Straus 猜想近似完全证明：${5}/{a} = {1}/{b} + {1}/{c} + {1}/{d}$

广义 Erd\H{o}s-Straus 猜想由 Wac\l{}aw Sierpi\'{n}ski 于 1956 年提出，询问 Diophantine 方程 $$\frac{5}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$$ 是否存在正整数解 $b,c,d \in \mathbb{N}$，使得每个整数 $a \ge 2$ 都有解。本文给出所有 $a \ge 2$ 的显式解。我们首先处理已知最简单的情况，即 $a \equiv i \pmod{5}$ 且 $i \in \{0,2,3,4\}$，给出直接分解。剩余未解决的情况是 $a \equiv 1 \pmod{5}$，即 $a = 5q + 1$ 且 $q \not\equiv 0 \pmod{252}$，我们给出显式分解，常以三变量多项式形式表示 $q$。对于 $q \equiv 0 \pmod{252}$，我们 conjectured 一个特定多项式 $p_{1}(x,y,z)=z (x (5 y-1)-y)-x,~ x,y,z \in \mathbb{N}^*$，其恰好满足广义 Erd\H{o}s--Straus 方程，认为它可生成所有 252 的倍数。该猜想已通过计算验证至 $5q+1 \approx 10^{10}$，并附录相应的 Mathematica 实现。